Observando la siguiente secuencia, os pedimos formalizar matemáticamente las funciones de la derecha en función del tiempo $t$.

Solución

Circunferencia

Empezamos por estudiar el caso de la circunferencia. Tenemos una semirrecta con origen en el punto $(0, 0)$ y que gira con eje de giro en él según un movimiento circular. Si llamamos a la velocidad angular $\omega$, el ángulo formado por la semirrecta en cada instante con el eje horizontal vendrá dado por $\omega t$. En consecuencia, los puntos de esa semirrecta (en azul) vendrán dados por $(r \cos(\omega t), r \sin(\omega t))$, con $r$ un número real positivo.

 Por otro lado, el punto en el que esa semirrecta corta a la circunferencia de radio $R$ (en rojo), vendrá dado por los puntos para los que $R = $ $ \sqrt{(r \cos(\omega t))^2 + (r \sin(\omega t))^2} = $ $ \sqrt{r^2 (\cos^2(\omega t) + \sin^2(\omega t))} = $ $ \sqrt{r^2} = $ $ r$. Así pues, los puntos recorridos en la circunferencia vienen dados por $(R \cos(\omega t), R \sin(\omega t))$. Como lo que se representa en la gráfica es la proyección sobre el eje $y$ de estos puntos, tenemos que la gráfica es de la forma $R \sin(\omega t)$.

 

Cuadrado

En el caso del cuadrado, tendremos que diferenciar cuatro trozos.

En este caso, la semirrecta $(r \cos(\omega t), r \sin(\omega t))$ cortará al cuadrado en cuatro segmentos diferentes dependiendo del ángulo:

$$\begin{cases} x = \frac{L}{2}, & \mbox{si } \frac{7 \pi}{4} < \omega t \leq \frac{\pi}{4}  \\ y = \frac{L}{2}, & \mbox{si } \frac{\pi}{4} < \omega t \leq \frac{3 \pi}{4} \\ x = -\frac{L}{2}, & \mbox{si } \frac{3 \pi}{4} < \omega t \leq \frac{5 \pi}{4}  \\ y = -\frac{L}{2}, & \mbox{si } \frac{5 \pi}{4} < \omega t \leq \frac{7 \pi}{4}\end{cases}$$

De los $4$ segmentos anteriores, está claro que el punto rojo tendrá coordenada $y$ constante: $y = \frac{L}{2}$ en el segundo segmento e $y = -\frac{L}{2}$ en el cuarto segmento. 

En el primer segmento, tendremos que $x = $ $ r \cos(\omega t) = $ $ \frac{L}{2} \rightarrow $ $ r = \frac{L}{2 \cos(\omega t)}$. En consecuencia, la coordenada $y$ será de la forma: $y = $ $ r \sin(\omega t) = $ $ \frac{L}{2 \cos(\omega t)} \sin(\omega t) = $ $ \frac{L}{2} \tan(\omega t) $.

De forma similar, en el tercer segmento, tenemos $x = $ $ r \cos(\omega t) = $ $ -\frac{L}{2} \rightarrow $ $ r = -\frac{L}{2 \cos(\omega t)}$. Por lo tanto, la coordenada $y$ será de la forma: $y = $ $ r \sin(\omega t) = $ $ -\frac{L}{2 \cos(\omega t)} \sin(\omega t) = $ $ -\frac{L}{2} \tan(\omega t) $.

Así pues, el valor de $y$ en función del tiempo $t$ es:

$$y(t) = \begin{cases} \frac{L}{2} \tan(\omega t), & \mbox{si } \frac{7 \pi}{4} < \omega t \leq \frac{\pi}{4}  \\ \frac{L}{2}, & \mbox{si } \frac{\pi}{4} < \omega t \leq \frac{3 \pi}{4} \\ -\frac{L}{2} \tan(\omega t), & \mbox{si } \frac{3 \pi}{4} < \omega t \leq \frac{5 \pi}{4}  \\ -\frac{L}{2}, & \mbox{si } \frac{5 \pi}{4} < \omega t \leq \frac{7 \pi}{4}\end{cases}$$

 

Hexágono

En el caso del hexágono, los cálculos son un poco más pesados (sobretodo porque hay que calcular la intersección de $6$ segmentos con la semirrecta). Por ello, es buena ocasión para ver una solución general al problema para un polígono regular de $N$ lados. Podemos ver la solución aquí, damos las gracias al autor de la solución que es sencilla y elegante.

 

 


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