Con baldosas cuadradas de lado un número exacto de unidades se ha podido embaldosar una habitación de superficie $18144$ unidades cuadradas de la siguiente manera: el primer día se puso una baldosa, el segundo dos baldosas, el tercero tres, etc. ¿Cuántas baldosas fueron necesarias?

Un campeonato de baloncesto se juega por el sistema de liga a dos vueltas (cada par de equipos se enfrentan dos veces) y sin empate (si el partido termina en empate hay prórroga hasta que gane uno de los dos). El ganador del partido obtiene $2$ puntos y el perdedor $1$. Al final del campeonato, la suma de los puntos obtenidos por todos los equipos salvo el campeón es de $2015$ puntos. ¿Cuántos partidos ganó el campeón?

Los enteros positivos $x$, $y$, $z$ cumplen:

$$x + 2 y = z, \;\;\;\; x^2 - 4 y^2 + z^2 = 310$$

Determina todos los posibles valores del producto $x y z$.

Demuestra que

$$(ax+by)^2 \leq a x^2 + b y^2$$

para cualesquiera $x$, $y$ $\in \mathbb{R}$ y cualesquiera $a$, $b$ $\in \mathbb{R}$, con $a + b = 1$, $a$, $b$ $\geq$ $0$. ¿En qué casos se da la igualdad?

Sea $k$ un número entero positivo no nulo. Se sabe que el número 

$m = \sqrt{5 \sqrt{3 \sqrt{k}}}$

es un número par. ¿Cuáles son las cuatro últimas cifras de $k$?

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