Con baldosas cuadradas de lado un número exacto de unidades se ha podido embaldosar una habitación de superficie $18144$ unidades cuadradas de la siguiente manera: el primer día se puso una baldosa, el segundo dos baldosas, el tercero tres, etc. ¿Cuántas baldosas fueron necesarias?

Solución 

En el enunciado aparecen dos informaciones importantes para resolver el problema. Primero, la manera de colocar las baldosas: el primer día una, el segundo dos, el tercero tres y así sucesivamente. Por lo tanto, el número total de baldosas (le llamaremos $n$) ha de poder expresarse como $n = $ $ 1 + 2 + 3 +... + m$ (siendo $m$ el número de días necesarios para colocar todas las baldosas). Se trata de una progresión aritmética con diferencia de la progresión $1$ y valor inicial $1$. Por lo tanto, la suma de todos los términos de la progresión puede expresarse como $n = $ $ \frac{(1 + m) \cdot m}{2}$. 

Por otra parte, se nos dice que las baldosas son cuadradas, que tienen de lado un número exacto de unidades y que el total de baldosas ocupan $18144$ unidades cuadradas. Si representamos el lado de la baldosa con la letra $l$, cada baldosa ocupará $l^2$ unidades cuadradas. En consecuencia, todas las baldosas ocuparán $n \cdot l^2$ unidades cuadradas. Y según el enunciado $n \cdot l^2 = $ $ 18144$.

Como el número de baldosas tiene que ser un número natural, y el enunciado nos dice que el lado de cada baldosa también lo es, descomponemos el número $18144$ en sus factores primos: $18144 = $ $ 2^5 \cdot 3^4 \cdot 7$. Y dado que $n \cdot l^2 = $ $ 2^5 \cdot 3^4 \cdot 7$ y que tanto $n$ como $l$ han de ser números naturales, todos los valores posibles de $n$ y $l$ son:

$n$ $l$
 $2^5 \cdot 3^4 \cdot 7$ $1$
 $2^3 \cdot 3^4 \cdot 7$ $2$
 $2 \cdot 3^4 \cdot 7$  $2^2$
 $2^5 \cdot 3^2 \cdot 7$  $3$
 $2^5 \cdot 3 \cdot 7$ $3^2$ 
 $2^3 \cdot 3^2 \cdot 7$  $2 \cdot 3$
 $2 \cdot 3^2 \cdot 7$   $2^2 \cdot 3$
 $2^3 \cdot 7$  $2 \cdot 3^2$
 $2 \cdot 7$  $2^2 \cdot 3^2$

 Además, como hemos visto anteriormente, $n$ ha de ser de la forma $\frac{(1 + m) \cdot m}{2}$ siendo $m$ un número natural. Por lo tanto, $0.5 m^2 + 0.5 m - n = $ $ 0 \rightarrow $ $ m = $ $ \frac{- 0.5 \pm \sqrt{0.5^2 - 4 \cdot 0.5 \cdot (-n)}}{2 \cdot 0.5}$. De todos los valores posibles de $n$, solo $2016 = $ $ 2^5 \cdot 3^2 \cdot 7$ da como resultado un valor natural de $m$. Así pues, se necesitaron $2016$ baldosas. Cada baldosa pues, tiene $3$ unidades de lado.


Comentarios   

0 #2 Ricardo M. MORALES 10-04-2016 03:06
... continuación ...

Sin computadora, pero con calculadora, creo que encontrar la solución me hubiera llevado unos 10 o 15 minutos, y confirmar que es única (creo que lo es), otros 5 minutos.

Ahora, se me ocurren varias formas de resolverlo, pero en los primeros minutos, descarté unas cuantas, que no me parecían suficientes o bien enfocadas.

Tiene una lógica interesante este ejercicio, es un excelente desafío al pensamiento lateral ¡me encantó! :-)
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0 #1 Ricardo M. MORALES 10-04-2016 03:00
Creo que se necesitan poco mas de 2000 baldosas, y de paso, algo mas de 2 meses.

Me llevó poco mas de 5 minutos (o sea, este me costó bastante), incluyendo razonamiento, revisión y descarte, casi todo el tiempo. Primero probé algunas cosas con GeoGebra, luego con planilla de cálculo (Calc, de LibreOffice). Con eso creo que, quienes encuentren la solución, que considero es única, con esta consigna, podrán confirmarme si la mía puede ser correcta. No doy mas detalles, ni valores precisos, para promover otros razonamientos, por caminos similares o diferentes a los que usé, sin perder la oportunidad de que alguien me ayude a corregir, refinar y validar mi razonamiento :-)

... sigue ...
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