Sea $k$ un número entero positivo no nulo. Se sabe que el número 

$m = \sqrt{5 \sqrt{3 \sqrt{k}}}$

es un número par. ¿Cuáles son las cuatro últimas cifras de $k$?

Solución

Si desarrollamos la expresión:

$m = (5(3(k)^\frac{1}{2})^\frac{1}{2})^\frac{1}{2} \rightarrow $$ m = 5^\frac{1}{2} 3^\frac{1}{4} k^\frac{1}{8}$

Además, se nos dice que $m$ es par. Por ello, los expresaremos como $m = 2 n$, para $n \in \mathbb{Z}$. Sustituyendo $m$ por $2 n$:

$2 n =  5^\frac{1}{2} 3^\frac{1}{4} k^\frac{1}{8} \rightarrow $$ n = 2^{-1} 5^\frac{1}{2} 3^\frac{1}{4} k^\frac{1}{8}$

Como hemos dicho que $n$ tiene que ser un número entero y en su expresión hay varias raíces, habrá que deshacerse de ellas. Para ello la expresión de $k^\frac{1}{8}$ tendrá que contener al menos los siguientes factores primos (puede contener otros):

$2^{1+a} 5^{-\frac{1}{2}+b} 3^{-\frac{1}{4}+c} = 2 5^{-\frac{1}{2}} 3^{-\frac{1}{4}} 2^a 5^b 3^c$ siendo $a$, $b$ y $c$ números enteros positivos incluyendo el $0$.

Estos factores son tales que hacen que en nuestra expresión de $n$ los exponentes de los factores primos sean enteros incluyendo al $0$.

Si elevamos a la potencia octava para conocer los factores de $k$ en lugar de los de $k^\frac{1}{8}$, vemos que $k$ ha de contener al menos los siguientes factores primos:

$2^8 5^{-4} 3^{-2} 2^{8a} 5^{8b} 3^{8c}$ siendo $a$, $b$ y $c$ números enteros positivos incluyendo el $0$.

Sin embargo, como además según el enunciado $k$ es un número entero positivo no nulo, vemos que los casos $b = 0$ y $c =0$ no son posibles, ya que los factores primos $5$ y $3$ tendrían exponentes negativos y el resultado no sería entero. Por ello, la expresión de los factores primos que ha de contener al menos $k$ es:

$2^8 5^{-4} 3^{-2} 2^{8a} 5^{8b} 3^{8c}$ siendo $a$ un número entero positivo incluyendo al $0$, y $b$ y $c$ números enteros positivos excluyendo al $0$. O lo que es el mismo:

$2^8 5^{4} 3^{6} 2^{8a} 5^{8b} 3^{8c}$ siendo $a$, $b$ y $c$ números enteros positivos incluyendo el $0$.

Si reformulamos esta expresión:

$(2^4 5^{4}) 2^4 3^{6} 2^{8a} 5^{8b} 3^{8c} = $ $(10^4) 2^4 3^{6} 2^{8a} 5^{8b} 3^{8c}$ siendo $a$, $b$ y $c$ números enteros positivos incluyendo el $0$.

Por lo tanto, como uno de los factores de $k$ es $10^4 = 10000$, las últimas $4$ cifras de $k$ son $0$.

 


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