Demuestra que

$$(ax+by)^2 \leq a x^2 + b y^2$$

para cualesquiera $x$, $y$ $\in \mathbb{R}$ y cualesquiera $a$, $b$ $\in \mathbb{R}$, con $a + b = 1$, $a$, $b$ $\geq$ $0$. ¿En qué casos se da la igualdad?

Solución

La desigualdad puede demostrarse de manera algebraica. Otra forma de expresar lo que queremos demostrar es:

$$a x^2 + b y^2 - (ax+by)^2 \geq 0$$

Si desarrollamos el miembro izquierdo de la desigualdad, obtenemos:

$$ax^2+by^2 - a^2 x^2 - b^2 y^2 -2abxy = a (1 - a) x^2 + b (1 - b) y^2 - 2abxy$$

Además, como el enunciado dice que $a + b = 1$, podemos sustituir $(1 - a)$ por $b$ y $(1 - b)$ por $a$:

$$a b x^2 + a b y^2 - 2abxy = a b ( x^2 + y^2 - 2xy) = a b (x - y)^2$$

Por lo tanto, como el enunciado dice que $a$, $b$ $\geq$ $0$, y la función cuadrática es siempre positiva ó $0$:

$$ a b (x - y)^2 \geq 0$$

Y en consecuencia, la expresión de la que partíamos cumplirá la misma propiedad:

$$a x^2 + b y^2 - (ax+by)^2 \geq 0 \rightarrow (ax+by)^2 \leq a x^2 + b y^2$$

Finalmente, analizando $ a b (x - y)^2 \geq 0$, la igualdad se da cuando el primer miembro vale $0$, es decir cuando $a = 0$ ó $b = 0$ ó $x-y=0 \rightarrow x=y$.

 

 


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