Los enteros positivos $x$, $y$, $z$ cumplen:

$$x + 2 y = z, \;\;\;\; x^2 - 4 y^2 + z^2 = 310$$

Determina todos los posibles valores del producto $x y z$.

Solución

Empezamos por reemplazar $z$ en la segunda ecuación por su valor en la primera, para dejar la segunda ecuación solo en función de $x$ y de $y$:

$x^2 - 4 y^2 + z^2 = 310 \rightarrow $$ x^2 - 4 y^2 + (x + 2 y)^2 = 310 \rightarrow $$ x^2 - 4 y^2 + x^2 + 4 y^2 + 4 x y = 310 \rightarrow $$ 2 x^2 + 4 x y = 310 \rightarrow $$ 2 x (x + 2 y) = 310$

Además, como el enunciado dice que las letras son números enteros positivos, podemos descomponer $310$ en sus factores primos: $310 = 2 \cdot 5 \cdot 31$.

$2 x (x + 2 y) = 2 \cdot 5 \cdot 31 \rightarrow $$ x (x + 2 y) = 5 \cdot 31$

Como el producto es de factores primos, la $x$ solo podrá tomar tres valores: $1$, $5$ y $31$. Hallemos el valor de las otras incógnitas para estos valores de $x$. La primera posibilidad es:

$x = 1$    $z = x + 2 y = 5 \cdot 31 = 155$    $y = \frac{155 - x}{2} =\frac{155 - 1}{2} = 77$

La segunda:

$x = 5$    $z = x + 2 y = 31$    $y = \frac{31 - x}{2} =\frac{31 - 5}{2} = 13$

Y la tercera:

$x = 31$    $z = x + 2 y = 5$    $y = \frac{5 - x}{2} =\frac{5 - 31}{2} = -13$

La tercera solución por lo tanto no es válida, ya que $y$ es un valor entero negativo (el enunciado dice que hallemos las soluciones enteras positivas). Ahora que tenemos todas las soluciones, podemos hallar el valor del producto $x y z$ para cada una de ellas. En el caso de la primera solución:

$x y z = 1 \cdot 155 \cdot 77 = 11935$

En el caso de la segunda solución:

$x y z = 5 \cdot 31 \cdot 13 = 2015$

 

 


Temas

Síguenos

 
Scroll to top