Un campeonato de baloncesto se juega por el sistema de liga a dos vueltas (cada par de equipos se enfrentan dos veces) y sin empate (si el partido termina en empate hay prórroga hasta que gane uno de los dos). El ganador del partido obtiene $2$ puntos y el perdedor $1$. Al final del campeonato, la suma de los puntos obtenidos por todos los equipos salvo el campeón es de $2015$ puntos. ¿Cuántos partidos ganó el campeón?

Solución

Llamamos $n$ al número de equipos que juegan la liga, que como es lógico, deberá ser un número natural. Si la liga la juegan $n$ equipos, cada equipo jugará $2 \cdot (n - 1)$ partidos, ya que el enunciado dice que cada equipo juega dos veces contra cada rival, y cada equipo tiene $n-1$ rivales. En consecuencia, el total de partidos jugados en la liga por todos los equipos será de $\frac{2 \cdot (n - 1) \cdot n}{2} = (n - 1) \cdot n$ (el número de partidos de cada equipo por el número de equipos dividido por $2$, ya que si no estaríamos contando cada partido dos veces por cada uno de los equipos que en él se enfrentan).

Además, en cada partido se reparten $3$ puntos ($2$ para el ganador y $1$ para el perdedor), por lo tanto, el número total de puntos repartidos en la liga es de $3 \cdot (n - 1) \cdot n$. Sabemos que la suma total de puntos de todos los equipos excepto el campeón es de $2015$ puntos. Además, sabemos que el campeón como mucho puede ganar $2 \cdot (n - 1) \cdot 2$ puntos. Por lo tanto, si probamos con valores de $n$ para intentar aproximarnos al dato de $2015$ puntos:

$n = 26 \rightarrow $$ 3 \cdot (n - 1) \cdot n = 3 \cdot 25 \cdot 26 = 1950$ es el número total de puntos. Por lo tanto es imposible que todos los equipos salvo el campeón hayan acumulado $2015$ puntos con $26$ equipos.

$n = 27 \rightarrow $$ 3 \cdot (n - 1) \cdot n = 3 \cdot 26 \cdot 27 = 2106$ es el número total de puntos. Además en este caso el campeón podría haber acumulado de haber ganado todos sus partidos hasta $4 \cdot (n - 1) = $$ 4 \cdot 26 = 104$ puntos. Por lo tanto, es una situación factible, ya que de acuerdo al enunciado del problema, si todos los equipos salvo el campeón han ganado $2015$ puntos, el campeón habrá ganado $2106 - 2015 = 91$ puntos.

$n = 28 \rightarrow $$ 3 \cdot (n - 1) \cdot n = 3 \cdot 27 \cdot 28 = 2268$ es el número total de puntos. Además, como el campeón en este caso podría haber ganado como mucho $4 \cdot (n - 1) = $$ 4 \cdot 27 = 108$ puntos, no es una situación que cumpla el enunciado ya que todos los equipos salvo el campeón habrían de sumar más de los $2015$ puntos que se nos dicen.

En consecuencia, la solución es que hay $n = 27$ equipos, y como el campeón hemos dicho que ha ganado $91$ puntos de los $104$ posibles, quiere decir que ha perdido $104 - 91 = 13$ partidos, o lo que es lo mismo, ha ganado $2 \cdot (n - 1) - 13 = 2 \cdot 26 - 13= 39$ partidos.

 


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